Второй вариант - добираться на автобусе, с автобусного вокзала Будапешта,
Népliget autóbusz-pályaudvar. Но автобусы ходят реже, чем поезда (правда, некоторые из них идут быстрее). Другое дело, что они идут без пересадок!
Расписание автобусов на конкретную дату можно посмотреть тут:
http://ujmenetrend.cdata.hu/uj_menetrend/en/index.php:

Если Вам удобнее ехать автобусом, то поступить нужно будет так:
1) сначала нужно будет доехать от аэропорта на рейсовом автобусе 200E до станции метро
Kőbánya-Kispest.2) затем сесть на метро (ветка M3) и ехать без пересадок до автовокзала - то есть до станции
Népliget (это ближе к аэропорту, чем вокзал
Nyugati; то есть ехать нужно меньше остановок; вот схема метро:
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Budapest-metro.png).
Повторюсь, что существует "билет с пересадкой", который включает сразу проезд и на автобусе, и на метро. Подробнее об этом билете:
viewtopic.php?f=5&t=25&start=200#p70293. Билет можно купить в билетном автомате или сервисном транспортном центре в аэропорту.
3) на будапештском автовокзале Неплигет уже происходит посадка на автобус до автовокзала города Ходмезёвашархей.